潘羅斯的數學故事

撰文/賴以威 臺灣師範大學助理教授,數感實驗室共同創辦人。常以「有什麼用處」的角度來看待數學,介紹隱藏在生活中的各種數學,並告訴大家怎麼用數學來解決生活問題。


「小時候,我算得奇慢無比,老師不太喜歡我,就把我降到程度比較低的班級。還好,那班有一位觀察敏銳的老師,他告訴我『你要算多久都可以』。」
──諾貝爾物理獎得主羅傑.潘羅斯(Roger Penrose)

剛發布的諾貝爾物理學獎,其中有一半的榮耀頒給了牛津大學的潘羅斯(Roger Penrose)爵士,彰顯他運用數學證明黑洞是廣義相對論的直接結果。有學者將他與愛因斯坦、霍金並列,認為他對基礎科學做出了重大的貢獻。

「這麼厲害?」

有些人可能會好奇潘羅斯是誰?但事實上,多數人就算沒聽過潘羅斯的名字,也絕對間接的看過他的作品,例如電影《全面啟動》裡出現的無限樓梯(Infinite Stairs),就是他與父親的共同創作。

潘羅斯的父親是一位知名的心理學家、數學家、西洋棋專家。從小看見父親在各個領域悠游自在,潘羅斯充分了解知識的趣味。碩二那年,他去阿姆斯特丹參加國際數學家大會,那是四年一度全球性的數學會議,會中將頒發菲爾茲獎等重要的數學獎項。

當年的大會主席德布魯因(N.G. de Bruijn)想推廣數學與藝術的連結,便找了一位喜歡數學的畫家策展,這位畫家沒受過數學訓練,畫作中卻充滿了數學趣味。潘羅斯的友人告訴他,「市立博物館有一個展覽你應該會有興趣,是一位名叫艾雪(M. C. Escher)的畫家策劃的。」

艾雪的《白天與黑夜》

年輕的潘羅斯站在《白天與黑夜》這幅由黑鳥與白鳥彼此鑲嵌而成的作品前,一瞬間就被艾雪的作品迷住了,他回憶道:「我站在這幅奇幻的作品前好久,我從來沒看過這樣的作品。回去後,我決定也來畫一些看起來不可能存在的作品。然後,我拿著畫出來的潘羅斯三角形去找我爸。」

潘羅斯三角形

對,這個如今滲透在許多藝術、設計領域的趣味符號,就是潘羅斯在看完艾雪展後的創作。

天才之間的創意,往往就是這樣互相激盪出來的。艾雪看到潘羅斯三角形後,同樣為之著迷,運用了這個概念創作出《瀑布》與《上下階梯》兩幅經典作品。在那之後,他們兩人開始往來通信,艾雪常常跟這位比他小33歲的年輕數學家請教,潘羅斯也樂於分享他想到的各種數學娛樂點子。艾雪生涯的最後作品《鬼魂》,靈感出處就是潘羅斯給他的一盒自製拼圖。

五邊形這麼管用?

說到拼圖,潘羅斯另一個廣為人知的發明是「潘羅斯密鋪(Penrose tiling)」,一個由兩種四邊形為基礎,反覆鑲嵌得到的五角形旋轉對稱圖案。許多人應該曾經踩過這樣的地磚,或至少在電腦螢幕上看過。這個發明的起源也很有趣,潘羅斯9歲時,曾經想用好幾片正六邊形拼出一個近似於球體的形狀,你可以想成是,他想用很多正六邊形的布拼出一顆足球。他那跨域的學者老爸看到了,就跟他說:「正六邊形沒辦法,你得用五邊形。」
說完,便展現了正十二面體給他看。

潘羅斯密鋪

從這為起點,34年後成為大數學家的潘羅斯提出了潘羅斯密鋪,幫小時候的自己解決了這個問題。

「你要算多久都可以」

從簡單的兩個故事我們可以看到,因為家庭背景,對潘羅斯來說,做研究、想數學就是娛樂。但就在他嘗試用正六邊形拼球體的前一年,8歲的他,卻被學校老師認為數學不好……

「小時候,我算得奇慢無比,老師不太喜歡我,就把我降到程度比較低的班級。還好,那班有一位觀察敏銳的老師,他告訴我『你要算多久都可以』。」

新老師非常清楚,數學要求的不是速度而是深度,是思考不是計算

解脫了時間限制後,「於是呢,當別人下課在玩的時候,我能繼續算。到了下一堂課,我還是能繼續算同一份測驗。你就可以知道,我的計算速度起碼是其他人的兩倍慢。但只要讓我這樣慢慢來,最終我就能做得很好。」
潘羅斯靠數學獲得了諾貝爾物理獎,他手中的數學充滿趣味、魅力與無限大的威力,幫助全人類拓展了知識的邊界。

而,這也是數學的本質

圖源:wikiart,wikimedia Commons,劉鑫鋒(賴以威頭像)

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